Сколько чисел от 1 до 1000 (включительно) непредставимы в виде разности квадратов двух целых чисел?
Решение.
Заметим, что любое нечетное число можно представить в виде Кроме того, чётное число, кратное 4, можно представить как
Остаются числа вида Заметим, что квадрат может давать остатки 0 или 1 при делении на 4, поэтому числа вида нельзя получить как разность квадратов. Таких чисел (вида ровно одно в каждой четвёрке последовательных чисел, следовательно, всего таких чисел от 1 до 1000 будет
Можно ли представить число 112018 в виде суммы кубов двух натуральных чисел?
Решение.
Предположим противное: где Если оба числа m1 и n1 делятся на 11, то разделим это равенство на куб максимальной степени 11, которая делит одновременно и m1, и n1, пусть это 11s. Тогда получим где и хотя бы одно из чисел и не делится на 11. Значит, оба этих числа не делятся на 11, так как иначе сумма не делилась бы на 11.
Поскольку
и число 11 простое, получаем и где и Поэтому
Из равенства следует, что откуда Значит, mn делится на 11, а поэтому одно из чисел m или n делится на 11. Противоречие.
Это решение можно окончить иначе. Если и где то числа m и −n дают одинаковые ненулевые остатки при делении на 11: но тогда и снова получаем противоречие.
Ответ: нельзя.
Приведем другое решение.
Пусть, от противного,
Тогда и где k, l — целые неотрицательные. Поскольку
Докажите, что каждое целое число n можно представить в виде для некоторых натуральных чисел a, b, c.
Решение.
Заметим, что для произвольного целого k. Если число чётно, то при положим
при положим a в случаях положим или Если же число нечётно, то при положим а при положим
При имеем или
Критерии проверки:
Найдены верные представления либо только для всех чётных или либо только для всех нечётных чисел: по 3 балла. Найдены верные представления только для всех натуральных чисел: 3 балла. Упущены представления для некоторого конечного количества исключительных чисел: минус 1−2−3 балла в зависимости от их числа. Нет контроля над натуральностью чисел a, b, c (то есть отличием их от 0): минус 1−2−3 балла в зависимости от числа возникающих ненатуральностей.
Известно, что числа s и r положительны и Докажите, что
Решение.
Воспользовавшись формулами суммы и разности кубов, а также разности квадратов, получим, что необходимо доказать неравенство
По условию поэтому сокращение на множитель и домножение на множитель не приведут к изменению знака неравенства. Отсюда получаем
Числа s и r положительны, следовательно, полученное неравенство равносильно следующему
Знаменатели обеих дробей положительны, так как и при этом Что и требовалось доказать.
Разложим разности кубов в числителе и суммы кубов в знаменателе на множители:
Тогда получим, что
Поскольку при любых натуральных выполнено равенство сомножители числителя и знаменателя сокращаются. Таким образом, получаем:
Ответ:
Критерии проверки:
1. Разложил числители и знаменатели на множители — 0,5 балла.
2. Выделил множители факториального типа и частично сократил дробь — 1 балл.
3. Экспериментально заметил сокращение нефакториальных множителей, но не обосновал строго — 1,5 балла.
4. Полностью все обосновал и получил верный ответ — 2 балла.
}.
можно представить в виде 
Кроме того, чётное число, кратное 4, можно представить как 
Заметим, что квадрат может давать остатки 0 или 1 при делении на 4, поэтому числа вида 
нельзя получить как разность квадратов. Таких чисел (вида 
ровно одно в каждой четвёрке последовательных чисел, следовательно, всего таких чисел от 1 до 1000 будет 
где 
Если оба числа m1 и n1 делятся на 11, то разделим это равенство на куб максимальной степени 11, которая делит одновременно и m1, и n1, пусть это 11s. Тогда получим 
где 
и хотя бы одно из чисел 
и 
не делится на 11. Значит, оба этих числа не делятся на 11, так как иначе сумма 
не делилась бы на 11.
и 
где 
и 
Поэтому 
следует, что 
откуда 
Значит, mn делится на 11, а поэтому одно из чисел m или n делится на 11. Противоречие.
где 
то числа m и −n дают одинаковые ненулевые остатки при делении на 11: 
но тогда 
что невозможно для целых чисел.
для некоторых натуральных чисел a, b, c.
для произвольного целого k. Если число 
чётно, то при 
положим 
положим 
a в случаях 
положим 
или 
Если же число 
нечётно, то при 
положим 
а при 
положим 
имеем 
или 
Докажите, что 
где x1 и x2 — несовпадающие между собой корни уравнения 
и 
то 
и 
Поэтому 
то 
при любых a, b . Поэтому 
что и требовалось доказать.
Докажите, что 
поэтому сокращение на множитель 
и домножение на множитель 
не приведут к изменению знака неравенства. Отсюда получаем 
и при этом 
Что и требовалось доказать.
и 
тогда 
и легко подсчитать (по формуле куба суммы): 
и 
рациональны. Тогда 
—
также рационально.
то 
или 
т. е. 
Так как 
то 
то 
при любых a, b, то имеем, что 
Поэтому 
откуда и следует, что 
выполнено равенство 
сомножители числителя и знаменателя сокращаются. Таким образом, получаем: 
